Física con Zeuss

Intensivo PAES M1 · Semanas 4 y 5

Capítulo 22 · Probabilidad básica

Primera parte del capítulo: nociones básicas, regla de Laplace, espacios muestrales, diagrama de árbol, triángulo de Pascal y la ley de los grandes números.

1. Probabilidad básica

a. Nociones básicas

Todo el capítulo descansa sobre ocho definiciones. Conviene fijarlas con un ejemplo concreto: lanzar un dado normal de seis caras equiprobables.

Las definiciones aplicadas al lanzamiento de un dado
ConceptoDefiniciónEn el dado
Experimento aleatorio Experimento cuyo resultado no se puede predecir. Lanzar el dado y observar el resultado.
Espacio muestral (E) Conjunto de todos los resultados posibles. \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Cardinalidad de E Cantidad de elementos del espacio muestral. 6
Evento o suceso Cualquier subconjunto del espacio muestral. "El resultado es 4" o "el resultado es par".
Evento cierto o seguro Involucra a todos los elementos de E. Su probabilidad es 1. "El resultado es menor que 10".
Evento imposible No tiene elementos de E. Su probabilidad es 0. "El resultado es múltiplo de 8".
Mutuamente excluyentes La ocurrencia de uno impide la del otro. A: número par · B: divisor de 5.
Complementarios No tienen elementos comunes y juntos forman todo E. A: menor que 4 · B: mayor que 3.

b. Probabilidad clásica o regla de Laplace

En un experimento aleatorio, la probabilidad de un evento A se obtiene dividiendo el número de casos favorables a A por el número total de casos posibles:

\[P(A)=\frac{\text{N.° de casos favorables (A)}}{\text{N.° total de casos}}\]
Dos notas que se usan todo el tiempo \(0\le P(A)\le 1\), o bien \(0\%\le P(A)\le 100\%\).
\(P(A)=1-P(A')\), donde \(A'\) es el evento "A NO ocurre".

c. Determinación de casos favorables y totales

Para contar casos hay que conocer el espacio muestral del experimento. Estos son los más frecuentes en la prueba.

1. Monedas

ExperimentoCasos totalesEspacio muestral
Lanzamiento de 1 moneda2
CS
Lanzamiento de 2 monedas\(2^2=4\)
CC
CS
SC
SS
Lanzamiento de 3 monedas\(2^3=8\)
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Lanzamiento de 4 monedas\(2^4=16\)
CCCC
CCCS
CCSC
CCSS
CSCC
CSCS
CSSC
CSSS
SCCC
SCCS
SCSC
SCSS
SSCC
SSCS
SSSC
SSSS
Lanzamiento de \(n\) monedas\(2^n\)—
Truco para escribir el espacio muestral sin equivocarse Mirando las columnas de estas tablas de derecha a izquierda hay una regularidad: cara y sello de uno en uno, luego de dos en dos, luego de cuatro en cuatro. Sirve para cualquier experimento con dos opciones equiprobables.

2. Dados

ExperimentoCasos totalesEspacio muestral
Lanzamiento de 1 dado 6 \(E=\{1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,5\,,\,6\}\)
Lanzamiento de 2 dados \(6^2=36\)
123456
11–11–21–31–41–51–6
22–12–22–32–42–52–6
33–13–23–33–43–53–6
44–14–24–34–44–54–6
55–15–25–35–45–55–6
66–16–26–36–46–56–6
Lanzamiento de \(n\) dados \(6^n\) —
NOTA En el lanzamiento de \(n\) dados, la cantidad de casos totales del experimento es \(6^n\).

3. Bolitas

Con una urna de 4 bolitas negras y 5 blancas, el espacio muestral al sacar una bolita tiene 9 resultados posibles: \(\{N_1,N_2,N_3,N_4,B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\}\).

i. Diagrama de árbol

Representación gráfica que ordena todos los resultados posibles de un experimento. Útil cuando hay dos o tres etapas.

Ejemplo del texto. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras al lanzar una moneda 3 veces?

Diagrama de árbol de tres lanzamientos de una moneda. Las ocho ramas terminan en CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC y SSS; están destacadas CCS, CSC y SCC, que son los tres casos con exactamente dos caras.
Del árbol se leen 8 casos totales y 3 casos favorables (CCS, CSC y SCC), de modo que la probabilidad de obtener exactamente 2 caras es \(\tfrac{3}{8}\).

Segundo ejemplo. Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par y un sello?

Diagrama de árbol del lanzamiento de un dado y una moneda. Cada número del 1 al 6 se bifurca en C y S, dando las doce ramas 1C, 1S, 2C, 2S, 3C, 3S, 4C, 4S, 5C, 5S, 6C y 6S; están destacadas 2S, 4S y 6S.
Del diagrama de árbol se leen 12 casos totales y 3 casos favorables (2S, 4S y 6S).

Del diagrama de árbol se ve que hay 12 casos totales (6 del dado × 2 de la moneda) y 3 casos favorables: 2S, 4S y 6S. Por lo tanto la probabilidad de obtener un número par y un sello es \(\tfrac{3}{12}=\tfrac14\).

ii. Triángulo de Pascal

Se utiliza en experimentos con 3 o más repeticiones, donde escribir el espacio muestral completo se vuelve impracticable. El experimento debe tener dos sucesos equiprobables: lanzar una moneda, el sexo de una persona, respuestas verdadero o falso.

Filas del triángulo para lanzamientos de moneda
RepeticionesFilaCasos totales
1\(1C^1 \quad 1S^1\)2
2\(1C^2 \quad 2C^1S^1 \quad 1S^2\)4
3\(1C^3 \quad 3C^2S^1 \quad 3C^1S^2 \quad 1S^3\)8
4\(1C^4 \quad 4C^3S^1 \quad 6C^2S^2 \quad 4C^1S^3 \quad 1S^4\)16
5\(1C^5 \quad 5C^4S^1 \quad 10C^3S^2 \quad 10C^2S^3 \quad 5C^1S^4 \quad 1S^5\)32
Cómo se construye El primer y último coeficiente de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente es la suma de los dos que están justo arriba en la fila anterior. La suma de una fila es siempre una potencia de 2 y corresponde a los casos totales. Además, cada fila es simétrica respecto de su centro.

Ejemplo del texto. Se lanza una moneda 5 veces. ¿Probabilidad de obtener 2 caras y 3 sellos?

Se mira la quinta fila. Los casos totales son \(1+5+10+10+5+1=32\). El término \(10\,C^2S^3\) indica 10 casos favorables. Por lo tanto:

\[P=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}\]

Anexo · Ley de los grandes números

Existe la probabilidad teórica (Laplace) y la probabilidad experimental o empírica, que se calcula a partir de un experimento ya realizado. La ley de los grandes números establece que a medida que aumenta la cantidad de veces que se realiza un experimento, la probabilidad experimental se acerca a la teórica.

Por ejemplo, si 500 personas lanzan una vez un dado, aproximadamente \(\tfrac16\) de las 500 personas va a obtener el número 2, ya que \(\tfrac16\) es la probabilidad teórica de obtener un 2.

Ir a los ejemplos 1 al 8 Ocho preguntas DEMRE de probabilidad clásica, con el desarrollo completo paso a paso. Seguir a suma y producto Unión de eventos, independencia, dependencia y probabilidad condicional.