Física con Zeuss

Intensivo PAES M1 · Semanas 4 y 5

Capítulo 22 · Ejemplos 1 al 8

Ocho preguntas liberadas DEMRE sobre la regla de Laplace y el conteo de casos. Cada desarrollo se abre en una ventana: conviene intentar el ejercicio antes de mirarlo.

Volver a Probabilidad básica Repasar la regla de Laplace y los espacios muestrales.

Ejemplos 1 al 8 · Probabilidad básica

1Habilidad: Representar. (DEMRE 2023)

En la tabla adjunta se muestra la distribución de los puntajes obtenidos por todos los estudiantes de un curso en una prueba. Si se selecciona al azar un estudiante de este curso, ¿cuál es la probabilidad de que este tenga a lo menos 40 puntos?

Puntajes10203040506070
Frecuencia241081443
  • A) \(\frac{8}{45}\)
  • B) \(\frac{16}{45}\)
  • C) \(\frac{24}{45}\)
  • D) \(\frac{29}{45}\)

Ejemplo 1 · "A lo menos" 40 puntos

Paso 1. Traducir "a lo menos"

"A lo menos 40 puntos" significa 40 o más, es decir \(\ge 40\). Incluye el 40.

Paso 2. Casos totales \[n = 2+4+10+8+14+4+3 = 45\]
Paso 3. Casos favorables

Los puntajes 40, 50, 60 y 70:

\[8+14+4+3 = 29\]
Paso 4. Aplicar Laplace \[P = \frac{29}{45}\]
Por qué se descartan las otras
  • A) 8/45: considera solo el puntaje 40, olvidando "o más".
  • B) 16/45: suma 2+4+10 = 16, que son los estudiantes bajo 40 puntos. Es el complemento incompleto.
  • C) 24/45: excluye el 40 del conteo: 14+4+3 = 21, o alguna otra suma parcial.

Alternativa correcta: D) \(\frac{29}{45}\)
2Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2025)

En una encuesta, las personas indicaron su preferencia de estilo musical, eligiendo solo una de entre las opciones rock, pop, rap y reguetón. Si se selecciona al azar a una persona de las encuestadas, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera el rock?

Estilo musicalFrecuencia
Rock7
Pop4
Rap3
Reguetón6
  • A) \(\frac{1}{7}\)
  • B) \(\frac{7}{13}\)
  • C) \(\frac{13}{20}\)
  • D) \(\frac{7}{20}\)

Ejemplo 2 · Laplace directo

Paso 1. Casos totales

Cada persona eligió solo una opción, así que el total de encuestados es la suma de las frecuencias:

\[7+4+3+6 = 20\]
Paso 2. Casos favorables y probabilidad \[P(\text{rock}) = \frac{7}{20}\]
Por qué se descartan las otras
  • B) 7/13: usa como total 4+3+6 = 13, que son los no rock. El denominador debe ser el total de encuestados.
  • C) 13/20: es la probabilidad de no preferir rock, el complemento.
  • A) 1/7: invierte la razón.

Alternativa correcta: D) \(\frac{7}{20}\)
3Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)

En el curso de Francisca se vende una rifa para financiar la gira de estudios en la que el premio es una bicicleta. Francisca quiere ganar la bicicleta y solo pudo comprar 8 números de la lista que ella vendió. Si se vendieron 100 listas completas y cada una con 20 números, ¿cuál es la probabilidad que tiene Francisca de ganarse la bicicleta si solo compró de una lista?

  • A) \(\frac{8}{120}\)
  • B) \(\frac{8}{800}\)
  • C) \(\frac{8}{20}\)
  • D) \(\frac{8}{2.000}\)

Ejemplo 3 · Contar bien el espacio muestral

Paso 1. Identificar el sorteo real

La bicicleta es una sola y se sortea entre todos los números vendidos, no solo entre los de la lista de Francisca. Ese es el punto de la pregunta.

Paso 2. Casos totales \[100 \text{ listas} \times 20 \text{ números por lista} = 2.000 \text{ números}\]
Paso 3. Casos favorables

Francisca tiene 8 números.

\[P = \frac{8}{2.000}\]
Por qué se descartan las otras
  • C) 8/20: es la trampa principal. Considera solo la lista de Francisca, como si el sorteo fuera dentro de esa lista.
  • B) 8/800: multiplica mal, probablemente \(100\times 8\).
  • A) 8/120: suma \(100+20\) en lugar de multiplicar.

Alternativa correcta: D) \(\frac{8}{2.000}\)
4Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)

Se realizó una encuesta sobre las preferencias de un grupo de personas respecto a su pasatiempo favorito, tal que cada persona eligió solo un pasatiempo. En esta encuesta 30 personas indicaron que su pasatiempo favorito es leer, 48 personas indicaron que es hacer deporte y \(n\) personas indicaron que es ver películas.

Al elegir una persona al azar de este grupo, la probabilidad de que su pasatiempo favorito no sea hacer deporte es 0,6. ¿Cuál es la cantidad de personas que indicaron ver películas?

  • A) 22
  • B) 42
  • C) 52
  • D) 117

Ejemplo 4 · Usar el complemento para despejar

Paso 1. Pasar al evento complementario

El dato viene expresado como "no sea deporte". Conviene darlo vuelta:

\[P(\text{deporte}) = 1 - P(\text{no deporte}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\]
Paso 2. Escribir el total en función de \(n\) \[\text{Total} = 30 + 48 + n = 78 + n\]
Paso 3. Plantear la ecuación \[\frac{48}{78+n} = 0{,}4\] \[48 = 0{,}4\,(78+n)\] \[\frac{48}{0{,}4} = 78+n \;\Longrightarrow\; 120 = 78 + n\] \[n = 42\]
Paso 4. Verificar

Con \(n=42\), el total es 120. Entonces \(P(\text{deporte})=\tfrac{48}{120}=0{,}4\) ✓ y \(P(\text{no deporte})=\tfrac{72}{120}=0{,}6\) ✓.

Por qué se descartan las otras
  • D) 117: resulta de trabajar con 0,6 sin pasar al complemento, planteando \(\tfrac{48}{78+n}=0{,}6\)... o más bien de un despeje invertido.
  • A) 22 y C) 52: dan totales de 100 y 130, con los que \(P(\text{deporte})\) sería 0,48 y 0,37, ninguno igual a 0,4.

Alternativa correcta: B) 42
5Habilidad: Argumentar. (DEMRE 2026)

En la siguiente tabla se presenta la probabilidad de obtener cada cara de un dado cargado al lanzarlo.

Número de la cara123456
Probabilidad0,20,10,10,10,40,1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a la información entregada?

  • A) La probabilidad de obtener un 1 o un 2 al lanzar este dado es la misma que se obtiene al lanzar un dado común.
  • B) La probabilidad de obtener un 6 al lanzar este dado es la misma que se obtiene al lanzar un dado común.
  • C) La probabilidad de obtener un número mayor que 4 al lanzar este dado es 0,5.
  • D) La probabilidad de obtener un número par al lanzar este dado es 0,1.

Ejemplo 5 · Dado cargado: sumar probabilidades dadas

Paso 1. Verificar que la tabla es coherente \[0{,}2+0{,}1+0{,}1+0{,}1+0{,}4+0{,}1 = 1\]

La suma da 1, como debe ser. En este dado las caras no son equiprobables, así que no se puede usar \(\tfrac{\text{favorables}}{6}\): hay que sumar las probabilidades de la tabla.

Paso 2. Evaluar cada alternativa

A) En este dado: \(P(1)+P(2)=0{,}2+0{,}1=0{,}3\). En un dado común: \(\tfrac26=\tfrac13\approx 0{,}33\). No son iguales. Falsa.

B) En este dado \(P(6)=0{,}1\); en uno común \(\tfrac16\approx 0{,}167\). No son iguales. Falsa.

C) Mayor que 4 son las caras 5 y 6:

\[P(5)+P(6)=0{,}4+0{,}1=0{,}5\]

Es exactamente lo que afirma. Verdadera.

D) Los pares son 2, 4 y 6:

\[0{,}1+0{,}1+0{,}1 = 0{,}3 \ne 0{,}1\]

Falsa: 0,1 es la probabilidad de cada par por separado, no de su unión.

Cuidado "Mayor que 4" no incluye el 4. Si dijera "mayor o igual que 4" habría que sumar también \(P(4)=0{,}1\) y el resultado sería 0,6.

Alternativa correcta: C) La probabilidad de obtener un número mayor que 4 es 0,5.
6Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2024)

Un curso vende una rifa para juntar dinero para un paseo. La rifa tiene 250 números distintos, todos con la misma probabilidad de ser sorteados. El profesor le dice a un estudiante, que compró números de la rifa, que tiene una probabilidad de \(\frac{1}{50}\) de ganarla. ¿Cuántos números de la rifa compró ese estudiante?

  • A) 1
  • B) 5
  • C) 50
  • D) 51

Ejemplo 6 · Despejar los casos favorables

Paso 1. Escribir Laplace con la incógnita

Sea \(x\) la cantidad de números comprados:

\[P = \frac{x}{250} = \frac{1}{50}\]
Paso 2. Resolver la proporción \[50x = 250 \;\Longrightarrow\; x = 5\]
Paso 3. Verificar \[\frac{5}{250}=\frac{1}{50} \ \checkmark\]
Por qué se descartan las otras
  • C) 50: confunde el denominador de la probabilidad con la cantidad de números comprados. Con 50 números, \(P=\tfrac{50}{250}=\tfrac15\).
  • A) 1: daría \(P=\tfrac{1}{250}\).

Alternativa correcta: B) 5
7Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2026)

Un juego de azar consiste en lanzar tres monedas simultáneamente. El puntaje obtenido por un jugador está dado por la expresión \(c - 2s\), tal que \(c\) y \(s\) corresponden a la cantidad de caras y de sellos, respectivamente, obtenidos en el lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador obtenga un puntaje negativo en un lanzamiento?

  • A) \(\frac{1}{8}\)
  • B) \(\frac{1}{4}\)
  • C) \(\frac{3}{8}\)
  • D) \(\frac{1}{2}\)

Ejemplo 7 · Espacio muestral con una regla de puntaje

Paso 1. Casos totales

Tres monedas: \(2^3 = 8\) casos.

Paso 2. Agrupar por cantidad de caras y sellos

Como el puntaje solo depende de \(c\) y \(s\), basta analizar las cuatro combinaciones posibles. La cantidad de casos de cada una sale de la tercera fila del triángulo de Pascal: 1, 3, 3, 1.

\(c\)\(s\)Puntaje \(c-2s\)¿Negativo?N.° de casos
30\(3-0=3\)No1
21\(2-2=0\)No (cero no es negativo)3
12\(1-4=-3\)Sí3
03\(0-6=-6\)Sí1
Paso 3. Contar favorables y calcular \[3 + 1 = 4 \text{ casos favorables}\] \[P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]
Por qué se descartan las otras
  • C) 3/8: cuenta solo el caso \(c=1,\ s=2\) y olvida el caso de los tres sellos.
  • A) 1/8: considera únicamente SSS.
  • B) 1/4: aparece si se cuenta mal la cantidad de casos con una cara.
Trampa del enunciado El caso \(c=2,\ s=1\) da puntaje 0. Cero no es negativo, así que esos 3 casos no cuentan. Incluirlos lleva a \(\tfrac78\), que ni siquiera está entre las alternativas.

Alternativa correcta: D) \(\frac{1}{2}\)
8Habilidad: Resolver Problemas. (DEMRE 2025)

Considera las siguientes cajas con sus respectivas bolitas grises y blancas.

ESPACIO RESERVADO PARA LA IMAGEN Ejemplo 8 — las cuatro cajas con bolitas grises y blancas

Datos de la figuraCaja 1: 6 grises · Caja 2: 2 grises y 4 blancas · Caja 3: 3 grises y 3 blancas · Caja 4: 4 grises y 2 blancas.

¿En cuál de las cajas, al extraer al azar una bolita, la probabilidad de que sea gris es mayor que 0,5 y menor que 1?

  • A) En la Caja 1.
  • B) En la Caja 2.
  • C) En la Caja 3.
  • D) En la Caja 4.

Ejemplo 8 · Comparar probabilidades en un intervalo

Paso 1. Leer la condición con cuidado

Se piden dos cosas a la vez: \(P(\text{gris}) > 0{,}5\) y \(P(\text{gris}) < 1\). La segunda condición excluye las cajas donde todas las bolitas son grises.

Paso 2. Calcular caja por caja
CajaGrisesTotal\(P(\text{gris})\)¿Cumple?
166\(\frac{6}{6}=1\)No: debe ser menor que 1
226\(\frac{2}{6}\approx 0{,}33\)No: menor que 0,5
336\(\frac{3}{6}=0{,}5\)No: debe ser mayor que 0,5
446\(\frac{4}{6}\approx 0{,}67\)Sí
Las dos trampas La Caja 1 se descarta porque la desigualdad es estricta: \(P=1\) no es menor que 1. La Caja 3 se descarta por lo mismo: \(P=0{,}5\) no es mayor que 0,5.

Alternativa correcta: D) En la Caja 4.
Continuar con Suma y Producto de Probabilidades Segunda parte del capítulo: eventos excluyentes, independientes y dependientes. Volver a Probabilidad básica Repasar la regla de Laplace y los espacios muestrales.