1. Medidas de posición
a. Percentiles
\(P_K\) es el percentil \(K\) de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor: el \(K\%\) de los valores son menores o iguales a \(P_K\), y por lo tanto el \((100-K)\%\) de los valores son mayores o iguales a \(P_K\).
Una forma de calcular el percentil \(K\) es determinar primero la posición
\[\frac{K\cdot(n+1)}{100}\]donde \(n\) es la cantidad de datos, y luego buscar el dato que ocupa esa posición.
i. Percentiles para datos sin agrupar (o sueltos)
- Ordenar los datos de menor a mayor.
- Calcular la posición \(\dfrac{K(n+1)}{100}\), con \(K=\{1,2,\dots,99\}\).
- Buscar el dato que ocupa esa posición:
- Si la posición es un número entero, el dato en esa posición es \(P_K\).
- Si la posición es un número decimal, se promedian los dos datos que ocupan las posiciones más cercanas.
Ejemplo del texto. Con los datos 4, 0, 1, 2, 7, 4, 0, 9, calcular \(P_{40}\).
Ordenados: 0, 0, 1, 2, 4, 4, 7, 9, con \(n=8\).
\[\frac{K(n+1)}{100}=\frac{40\cdot 9}{100}=3{,}6\]Como 3,6 es decimal, se promedian los datos de las posiciones 3 y 4, que son 1 y 2:
\[P_{40}=\frac{1+2}{2}=1{,}5\]ii. Percentiles para datos en tabla sin intervalos
El procedimiento es el mismo, pero para ubicar el dato de una posición se usa la frecuencia acumulada \(F\): cada fila abarca las posiciones que van desde la \(F\) anterior más uno hasta su propia \(F\).
| \(x\) | \(f\) | \(F\) | Posiciones que abarca |
|---|---|---|---|
| 15 | 12 | 12 | 1 a 12 |
| 16 | 10 | 22 | 13 a 22 |
| 17 | 12 | 34 | 23 a 34 |
| 18 | 6 | 40 | 35 a 40 |
Con \(K=30\) y \(n=40\): \(\dfrac{30\cdot 41}{100}=12{,}3\). Se promedian los datos de las posiciones 12 y 13, que son 15 y 16:
\[P_{30}=\frac{15+16}{2}=15{,}5\]iii. Intervalo que contiene al percentil \(K\)
Cuando la tabla tiene intervalos, no se pide el valor del percentil sino el intervalo donde cae. Se calcula la posición \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) — sin el \(+1\) — y se busca el intervalo que contiene el dato de esa posición usando la frecuencia acumulada. Si el resultado es decimal, se aproxima al entero mayor más cercano.
| Intervalo | \(f\) | \(F\) | Posiciones |
|---|---|---|---|
| [2, 4[ | 7 | 7 | 1 a 7 |
| [4, 6[ | 4 | 11 | 8 a 11 |
| [6, 8[ | 6 | 17 | 12 a 17 |
| [8, 10[ | 3 | 20 | 18 a 20 |
Con \(K=45\) y \(n=20\): \(\dfrac{45\cdot 20}{100}=9\). La posición 9 cae en el segundo intervalo, que abarca de la 8 a la 11. Por lo tanto \(P_{45}\) se encuentra en \([4,6[\).
b. Cuartiles
Son los tres valores que dividen un conjunto ordenado en cuatro subconjuntos con la misma cantidad de datos. Corresponden a valores hasta los cuales se acumula al menos el 25%, 50% y 75% de los datos.
Los cuartiles son casos particulares de percentiles:
\(C_1 = P_{25}\) · \(C_2 = P_{50}\) · \(C_3 = P_{75}\)
Para calcular un cuartil, entonces, basta calcular el percentil correspondiente.
i. Diagrama de caja
El diagrama de caja o cajón con bigotes es una representación gráfica basada en cuartiles. Para elaborarlo se necesitan cinco datos: el valor mínimo, \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y el valor máximo.
Ejemplo del texto
Si tenemos que Mín \(=3\) ; \(C_1=7\) ; \(C_2=12\) ; \(C_3=15\) y Máx \(=19\), nuestro gráfico será de la forma:
Aspectos a considerar de este tipo de gráficos
- No nos ofrece información más allá de los 5 datos con los que se construye. Estos son: Mín; \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y el Máx. Por esto mismo, no es demasiado lo que podemos decir de la muestra en detalle.
- Algo que juega en contra a este tipo de gráficos es la imposibilidad de analizar dispersión real, pues cada intervalo que se genera depende de muy pocos valores. Por ejemplo, no sería prudente decir que los datos están distribuidos de forma homogénea entre 3 y 19.
- Es muy tentador decir que como el intervalo entre \(C_2\) y \(C_3\) es el más corto, eso significa que ese 25% de datos sea más homogéneo que los demás, pues cada intervalo considera valores específicos y no necesariamente considera los valores de todos los individuos.
- Si bien este gráfico pierde un poco de fuerza en la interpretación de otros aspectos, en concreto sí nos aporta información respecto a, por ejemplo, el rango de valores en que se encuentra el 50% central, o cuál es el mínimo valor y el máximo valor de la misma.