Intensivo PAES · Matemática M1

Medidas de posición y dispersión

Evaluación formativa con 32 ejercicios y desarrollos paso a paso. Las operaciones se presentan con notación matemática y siguiendo el criterio indicado para datos agrupados y no agrupados.

No agrupados: \(\operatorname{Pos}(P_k)=\frac{k(n+1)}{100}\)
Agrupados: \(\operatorname{Pos}(P_k)=\frac{kn}{100}\)
Criterio de cálculo: las tablas con valores individuales y frecuencias se tratan como datos no agrupados. Solo las tablas organizadas en intervalos usan \(kn/100\). Si una posición no agrupada es decimal, se promedian los dos datos vecinos, según el criterio trabajado en el material.

Clave resumida

Pregunta 1Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 1
Pregunta 2Alternativa A
Enunciado original de la pregunta 2
Pregunta 3Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 3
Pregunta 4Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 4
Pregunta 5Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 5
Pregunta 6Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 6
Pregunta 7Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 7
Pregunta 8Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 8
Pregunta 9Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 9
Pregunta 10Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 10
Pregunta 11Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 11
Pregunta 12Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 12
Pregunta 13Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 13
Pregunta 14Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 14
Pregunta 15Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 15
Pregunta 16Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 16
Pregunta 17Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 17
Pregunta 18Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 18
Pregunta 19Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 19
Pregunta 20Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 20
Pregunta 21Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 21
Pregunta 22Revisión necesaria
Enunciado original de la pregunta 22
Pregunta 23Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 23
Pregunta 24Alternativa D
Enunciado original de la pregunta 24
Pregunta 25Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 25
Pregunta 26Alternativa B
Enunciado original de la pregunta 26
Pregunta 27Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 27
Pregunta 28Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 28
Pregunta 29Alternativa A
Enunciado original de la pregunta 29
Pregunta 30Alternativa A
Enunciado original de la pregunta 30
Pregunta 31Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 31
Pregunta 32Alternativa C
Enunciado original de la pregunta 32

No existe esa pregunta. Ingresa un número entre 1 y 32.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 1

Tipo de datos: no agrupados. Hay \(n=19\) notas y ya están ordenadas.

Fórmula: \[\operatorname{Pos}(P_k)=\frac{k(n+1)}{100}\]

Cálculo: \[\operatorname{Pos}(P_{70})=\frac{70(19+1)}{100}=\frac{70\cdot20}{100}=14\]

El dato de la posición 14 es \(5{,}5\).

Por lo tanto, \(P_{70}=5{,}5\). Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 2

Tipo de datos: valores individuales con frecuencia; no son intervalos. \(n=200\).

Primer cuartil: \[\operatorname{Pos}(Q_1)=\operatorname{Pos}(P_{25})=\frac{25(200+1)}{100}=50{,}25\]

Hasta 4 triples se acumulan 49 participantes y hasta 5 triples se acumulan 74. Las posiciones 50 y 51 corresponden a 5 triples, de modo que \(Q_1=5\).

Además, \(P_{60}\) cae en 7 triples, \(Q_2\) en 6 y \(Q_3\) en 8.

La única afirmación verdadera es A.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 3

La suma de las frecuencias es \[n=2+6+8+4+5+2+3=30.\]

Posición: \[\operatorname{Pos}(P_{30})=\frac{30(30+1)}{100}=9{,}3\]

Hasta 1 mascota se acumulan 8 respuestas y hasta 2 mascotas se acumulan 16. Por eso las posiciones 9 y 10 tienen valor 2.

\(P_{30}=2\) mascotas. Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 4

El orden creciente es correcto: \(\{2,2,3,5,5,6,6,6,7\}\), con \(n=9\).

\[\operatorname{Pos}(P_{40})=\frac{40(9+1)}{100}=4\]

El cuarto dato es 5. Por tanto, los tres pasos de Eduardo son correctos.

\(P_{40}=5\). Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 5

La cantidad de datos es \[n=7+8+7+6+3=31.\]

\[\operatorname{Pos}(Q_3)=\operatorname{Pos}(P_{75})=\frac{75(31+1)}{100}=24\]

La frecuencia acumulada llega a 22 en el valor 3 y a 28 en el valor 4. La posición 24 está, entonces, en el valor 4.

\(Q_3=4\). Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 6

El paso 1 es correcto. El primer error aparece en el paso 2, porque para datos no agrupados:

\[\operatorname{Pos}(Q_2)=\operatorname{Pos}(P_{50})=\frac{50(n+1)}{100}=\frac{n+1}{2}\]

No se debe usar \(n/2\). Además, el rango intercuartílico correcto es \(Q_3-Q_1\), no \(Q_3-Q_2\), pero ese es un error posterior.

Primer error: paso 2. Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 7

Del diagrama se lee: mínimo \(=10\), \(Q_1=13\), \(Q_2=17\), \(Q_3=23\) y máximo \(=27\).

\[RIC=Q_3-Q_1=23-13=10\]

El gráfico no informa el número de estudiantes y cada cuartil representa cerca del 25 %, aunque tenga distinto ancho.

El rango intercuartílico es 10 puntos. Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 8

Hay \(n=11\) datos. El mínimo es 1 y el máximo es 5.

\[\operatorname{Pos}(Q_1)=\frac{25(12)}{100}=3,\quad \operatorname{Pos}(Q_2)=\frac{50(12)}{100}=6,\quad \operatorname{Pos}(Q_3)=\frac{75(12)}{100}=9\]

Los datos en esas posiciones son 2, 3 y 3, respectivamente.

Resumen de cinco números: \((1,2,3,3,5)\). Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 9

Ordenamos: \(11,13,14,14,15,16,21,23\), con \(n=8\).

\[\operatorname{Pos}(Q_1)=\frac{25(8+1)}{100}=2{,}25\]

Según el criterio del material, al resultar decimal se promedian los datos vecinos:

\[Q_1=\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{13+14}{2}=13{,}5\]

Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 10

Son valores individuales con frecuencia y \(n=50\).

\[\operatorname{Pos}(P_{75})=\frac{75(50+1)}{100}=38{,}25\]

Hasta 7 horas se acumulan 26 estudiantes y hasta 8 horas se acumulan 40. Tanto la posición 38 como la 39 corresponden a 8 horas.

\(P_{75}=8\) horas. Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 11

Buscar el 40 % superior equivale a determinar el punto de corte \(P_{60}\); por eso los pasos 1 y 2 son correctos.

Con \(n=23\): \[\operatorname{Pos}(P_{60})=\frac{60(23+1)}{100}=14{,}4\]

No corresponde a la posición 17. Las posiciones vecinas 14 y 15 contienen 66 y 67 puntos.

El primer error está en el paso 3. Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 12

Hay \(n=83\) datos distintos.

\[\operatorname{Pos}(Q_2)=\frac{50(83+1)}{100}=42\]

Por ello, el valor 50 ocupa necesariamente el lugar 42 del ordenamiento. No es posible determinar con estos datos \(Q_1\), \(Q_3\) ni la media.

Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 13

Como las frecuencias porcentuales suman 100 %:

\[12+y+15+(y+25)+8=100\Rightarrow 2y+60=100\Rightarrow y=20\]

Las frecuencias acumuladas son \(12\%,32\%,47\%,92\%,100\%\). El 40 % queda entre 32 % y 47 %, dentro del tercer intervalo.

\(P_{40}\in[36,54[\). Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 14

Estar en \(P_{99}\) significa que aproximadamente el 99 % de los resultados es menor o igual al puntaje de Ismael.

El porcentaje que podría superarlo corresponde al complemento:

\[100\%-99\%=1\%\]

Su puntaje solo podría ser superado por el 1 %. Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 15

Los datos están agrupados en intervalos, por lo que se usa \(\operatorname{Pos}(P_k)=kn/100\).

En la opción C, si \(k=10\): \[n=40+10+120+20=190\]

\[\operatorname{Pos}(Q_3)=\frac{75\cdot190}{100}=142{,}5\]

Las acumuladas son 40, 50, 170 y 190. La posición 142,5 está en \([10,15[\).

Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 16

El mejor estudiante ocupa el puesto 1000, así que los puestos mayores representan mejores notas.

El corte del tercer cuartil está alrededor de:

\[\operatorname{Pos}(Q_3)=\frac{75\cdot1000}{100}=750\]

Como \(847>750\), Alfredo está en el cuartil superior.

Puede postular. Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 17

El segundo cuartil es la mediana: \(Q_2=7\). Como \(12>7\), el dato 12 necesariamente está por encima de \(Q_2\).

No conocemos \(Q_3\), por lo que 12 podría quedar antes o después de él.

Solo se asegura que está entre \(Q_2\) y el máximo. Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 18

El tercer cuartil es \(Q_3=1{,}65\text{ m}\). Este punto de corte deja aproximadamente al 75 % de los datos en o bajo él y al 25 % superior desde ese valor.

Con 500 estudiantes, ese 25 % equivale aproximadamente a:

\[0{,}25\cdot500=125\]

Al menos el 25 % mide 1,65 m o más. Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 19

Son datos agrupados en intervalos, con \(n=100\). Las frecuencias acumuladas son 26, 68, 81, 93 y 100.

\[\operatorname{Pos}(Q_3)=\frac{75\cdot100}{100}=75,\qquad \operatorname{Pos}(P_{80})=\frac{80\cdot100}{100}=80\]

Las posiciones 75 y 80 están entre 69 y 81, es decir, en el tercer intervalo \([30,45[\).

Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 20

En el gráfico B, las frecuencias son 6 para 2; 3 para 4; 5 para 6; y 6 para 8. Entonces \(n=20\).

\[\bar{x}=\frac{2\cdot6+4\cdot3+6\cdot5+8\cdot6}{20}=\frac{102}{20}=5{,}1\]

\[\operatorname{Pos}(Q_1)=\frac{25(20+1)}{100}=5{,}25\]

Las posiciones 5 y 6 valen 2, por lo que \(Q_1=2\).

Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 21

Las frecuencias son 390, 410, 180 y 20; por tanto:

\[n=390+410+180+20=1000\]

Las acumuladas son 390, 800, 980 y 1000. El intervalo \([34,51[\) contiene las posiciones 391 a 800.

\[\operatorname{Pos}(Q_3)=\frac{75\cdot1000}{100}=750\]

La posición 750 pertenece a \([34,51[\). Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 22

Advertencia: el enunciado no determina una respuesta única.

Con \(n=11\): \[\operatorname{Pos}(P_{75})=\frac{75(12)}{100}=9\Rightarrow c=15\]

\[\operatorname{Pos}(P_{40})=\frac{40(12)}{100}=4{,}8\]

Promediando las posiciones 4 y 5: \[\frac{a+8}{2}=7\Rightarrow a=6\]

Además, \(Q_2\) ocupa la posición 6 y vale \(b\). Como los datos son enteros ordenados, \(b\in\{9,10,11\}\).

\[\frac{Q_2}{c-a}=\frac{b}{15-6}=\frac{b}{9}\]

El resultado no es único. La alternativa C solo se obtiene suponiendo \(b=9\), supuesto que el enunciado no entrega.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 23

La frecuencia total es \[n=x+8+10+12+8=x+38.\]

Para que \(Q_2=22{,}5\), los dos datos centrales deben ser 20 y 25; por ello, la frecuencia acumulada hasta 20 debe ser exactamente \(n/2\).

\[x+18=\frac{x+38}{2}\Rightarrow 2x+36=x+38\Rightarrow x=2\]

Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 24

Del diagrama se lee: mínimo \(=3\), \(Q_1=8\), \(Q_2=15\), \(Q_3=19\) y máximo \(=22\).

El cuartil superior comienza en \(Q_3\), por lo que el 25 % con mayores tiempos esperó 19 minutos o más.

El rango es \[22-3=19\text{ minutos},\] y el gráfico no entrega la media.

Alternativa D.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 25

Se lee: mínimo \(=16\), \(Q_1=18\), \(Q_2=21\), \(Q_3=23\) y máximo \(=29\).

El primer cuartil señala que aproximadamente el 25 % de las edades es menor o igual a 18 años.

El valor 23 es una edad, no una cantidad de personas, y 21 es la mediana, no necesariamente la media.

Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 26

El resumen de cinco números es \((2,6,14,21,38)\) minutos.

El diagrama exhibe cinco valores característicos distintos; por ello, el conjunto debe contener por lo menos cinco observaciones.

El valor 14 corresponde a la mediana, no necesariamente al promedio. Los anchos de los tramos no indican más estudiantes y el gráfico no informa la moda.

Alternativa B.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 27

Ambos talleres tienen el mismo mínimo, pero el máximo del taller B es mayor.

Como \(R=\text{máximo}-\text{mínimo}\), se tiene:

\[R_A

El gráfico no permite conocer la cantidad de estudiantes ni el promedio de cada taller.

Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 28

Ordenamos las edades: \(15,15,16,16,17,18,18\), con \(n=7\).

\[\operatorname{Pos}(Q_2)=\frac{50(7+1)}{100}=4\Rightarrow Q_2=16\]

\[\operatorname{Pos}(P_{37{,}5})=\frac{37{,}5(7+1)}{100}=3\Rightarrow P_{37{,}5}=16\]

\(P_{37{,}5}\) coincide con \(Q_2\). Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 29

Ordenamos: \(30,32,36,39,40,41,46\), con \(n=7\).

\[\operatorname{Pos}(Q_1)=2,\quad \operatorname{Pos}(Q_2)=4,\quad \operatorname{Pos}(Q_3)=6\]

Por tanto, el resumen es:

\[(\min,Q_1,Q_2,Q_3,\max)=(30,32,39,41,46)\]

El diagrama correcto es A.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 30

Promedio de los inicios de \(P_{50}\) en 2018 y 2019:

\[\frac{498+492}{2}=\frac{990}{2}=495\]

Entre 2012 y 2015, el valor fue 495,5 en cada año. Luego:

\[495<495{,}5\]

Un percentil no representa necesariamente la media ni asegura que exactamente el 50 % sea estrictamente menor.

Alternativa A.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 31

\(P_{70}=\$945.800\) indica que aproximadamente el 70 % gana esa cantidad o menos.

El porcentaje complementario es:

\[100\%-70\%=30\%\]

Por eso, el 30 % superior gana al menos \(\$945.800\). Los percentiles son puntos de corte; no significan que un porcentaje gane exactamente ese monto.

Alternativa C.

Desarrollo paso a paso

Pregunta 32

Los pasos 1, 2 y 3 son correctos: se ordenan los datos, se ubican mínimo y máximo y se construye la caja entre \(Q_1\) y \(Q_3\).

La línea interior debe representar el segundo cuartil o mediana:

\[Q_2=P_{50}\]

No representa la media aritmética \(\bar{x}\). Por eso el primer error aparece en el paso 4.

Alternativa C.