Física con Zeuss

Intensivo PAES M1 · Capítulo 21

Respuestas · Evaluación Formativa 1

Pauta y desarrollo de las primeras 33 preguntas. Intenta cada una antes de abrir el popup.

 

Volver al enunciado Evaluación Formativa 1 con el visor del PDF. Abrir EF_M1a_C21.pdf Para contrastar las figuras de las preguntas 14, 16, 20, 26, 27, 30 y 33. Ir a las respuestas 2 Pauta de las preguntas 1 a 32.
1 Tabla de idas al cine

A partir de los datos de la tabla, ¿cuál es el cuartil 3?

Idas al cine de un grupo de estudiantes
Cantidad de idas al cineFrecuencia
05
112
218
37
43

Pregunta 1 · \(Q_3\)

Qué fórmula usarLos datos no están agrupados en intervalos (cada fila es un valor), así que la posición del percentil se calcula con \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\). La expresión \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) se reserva para tablas con intervalos.
Paso 1. Total de datos

\(n=5+12+18+7+3=45\).

Paso 2. Posición de \(Q_3=P_{75}\)\[\frac{75\cdot(45+1)}{100}=\frac{75\cdot 46}{100}=34{,}5\]

La posición es decimal: se promedian los datos que ocupan las posiciones 34 y 35.

Paso 3. Frecuencia acumulada
Valor\(f\)\(F\)Posiciones
0551 a 5
112176 a 17
2183518 a 35
374236 a 42
434543 a 45

Las posiciones 34 y 35 están ambas en el tramo 18 a 35, que corresponde al valor 2:

\[Q_3=\frac{2+2}{2}=2\]

Alternativa correcta: B) \(Q_3=2\)

Por lo tanto \(Q_3=2\).
2 Tabla de idas al cine

A partir de los datos de la tabla, ¿cuál es el cuartil 1?

Idas al cine de un grupo de estudiantes
Cantidad de idas al cineFrecuencia
05
112
218
37
43

Pregunta 2 · \(Q_1\)

Qué fórmula usarLos datos no están agrupados en intervalos (cada fila es un valor), así que la posición del percentil se calcula con \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\). La expresión \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) se reserva para tablas con intervalos.
Paso 1. Posición de \(Q_1=P_{25}\)

\(n=45\).

\[\frac{25\cdot(45+1)}{100}=\frac{25\cdot 46}{100}=11{,}5\]

La posición es decimal: se promedian los datos de las posiciones 11 y 12.

Paso 2. Ubicar en la acumulada
Valor\(f\)\(F\)Posiciones
0551 a 5
112176 a 17
2183518 a 35
374236 a 42
434543 a 45

Hasta el valor 0 se acumulan 5 datos y hasta el valor 1 se acumulan 17. Las posiciones 11 y 12 caen ambas en el valor 1:

\[Q_1=\frac{1+1}{2}=1\]

Alternativa correcta: B) \(Q_1=1\)

Por lo tanto \(Q_1=1\).
3 Tabla de idas al cine

A partir de los datos de la tabla, ¿cuál es el percentil 80?

Idas al cine de un grupo de estudiantes
Cantidad de idas al cineFrecuencia
05
112
218
37
43

Pregunta 3 · \(P_{80}\)

Qué fórmula usarLos datos no están agrupados en intervalos (cada fila es un valor), así que la posición del percentil se calcula con \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\). La expresión \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) se reserva para tablas con intervalos.
Paso 1. Posición de \(P_{80}\)

\(n=45\).

\[\frac{80\cdot(45+1)}{100}=\frac{80\cdot 46}{100}=36{,}8\]

La posición es decimal: se promedian los datos de las posiciones 36 y 37.

Paso 2. Ubicar en la acumulada
Valor\(f\)\(F\)Posiciones
0551 a 5
112176 a 17
2183518 a 35
374236 a 42
434543 a 45

Hasta el valor 2 se acumulan 35 datos, así que las posiciones 36 y 37 son las dos primeras del valor 3:

\[P_{80}=\frac{3+3}{2}=3\]

Alternativa correcta: C) \(P_{80}=3\)

Por lo tanto \(P_{80}=3\).
4 Estaturas de Cuarto A y Cuarto B

Según la tabla, ¿cuál es el intervalo que contiene al cuartil 2 del Cuarto B?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 4 · \(Q_2\) del Cuarto B

Paso 1. Total del Cuarto B

\(n=4+6+18+2=30\). \(Q_2\) es la mediana:

\[\frac{50\cdot 30}{100}=15\]

Se buscan las posiciones 15 y 16.

Paso 2. Acumulada del Cuarto B
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)441 a 4
\([1{,}54;1{,}60[\)6105 a 10
\([1{,}60;1{,}66[\)182811 a 28
\([1{,}66;1{,}72[\)23029 a 30

Ambas posiciones están entre 11 y 28, es decir en \([1{,}60;1{,}66[\).

Alternativa correcta: C) \([1{,}60;1{,}66[\)

El intervalo que contiene a \(Q_2\) es \([1{,}60;1{,}66[\).
5 Estaturas de Cuarto A y Cuarto B

Según la tabla, ¿en cuál intervalo se encuentra el cuartil 1 del Cuarto B?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 5 · \(Q_1\) del Cuarto B

Paso 1. Posición de \(Q_1\)

\(n=30\).

\[\frac{25\cdot 30}{100}=7{,}5\]
Paso 2. Ubicar el intervalo
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)441 a 4
\([1{,}54;1{,}60[\)6105 a 10
\([1{,}60;1{,}66[\)182811 a 28
\([1{,}66;1{,}72[\)23029 a 30

La posición 8 está entre 5 y 10, en \([1{,}54;1{,}60[\).

Alternativa correcta: B) \([1{,}54;1{,}60[\)

\(Q_1\) del Cuarto B está en \([1{,}54;1{,}60[\).
6 Estaturas de Cuarto A y Cuarto B

Según la tabla, ¿en cuál intervalo se encuentra el cuartil 3 del Cuarto A?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 6 · \(Q_3\) del Cuarto A

Paso 1. Total del Cuarto A

\(n=3+6+15+6=30\).

\[\frac{75\cdot 30}{100}=22{,}5\]
Paso 2. Acumulada del Cuarto A
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)331 a 3
\([1{,}54;1{,}60[\)694 a 9
\([1{,}60;1{,}66[\)152410 a 24
\([1{,}66;1{,}72[\)63025 a 30

La posición 23 está entre 10 y 24, en \([1{,}60;1{,}66[\).

Alternativa correcta: C) \([1{,}60;1{,}66[\)

\(Q_3\) del Cuarto A está en \([1{,}60;1{,}66[\).
7 Estaturas de Cuarto A y Cuarto B

Según la tabla, ¿en cuál intervalo se encuentra el percentil 95 del Cuarto B?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 7 · \(P_{95}\) del Cuarto B

Paso 1. Posición de \(P_{95}\)

La tabla tiene intervalos, así que la posición se calcula con \(\dfrac{K\cdot n}{100}\). Para el Cuarto B, \(n=4+6+18+2=30\):

\[\frac{95\cdot 30}{100}=28{,}5\]
Paso 2. Frecuencia acumulada del Cuarto B
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)441 a 4
\([1{,}54;1{,}60[\)6105 a 10
\([1{,}60;1{,}66[\)182811 a 28
\([1{,}66;1{,}72[\)23029 a 30

Ojo: la posición 28 es el último dato del tercer intervalo, y la 29 es el primero del cuarto. El 28,5 cae justo en el límite entre ambos, así que la forma de tratar el decimal decide la respuesta.

Paso 3. Qué hacer con el decimal

Con datos agrupados en intervalos, si \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) es decimal se aproxima al entero mayor. No se promedia, porque no conocemos el valor de cada dato, solo el intervalo donde está.

Qué se hace con 28,5PosiciónIntervaloAlternativa
Aproximar al entero mayor (regla del texto)29\([1{,}66;1{,}72[\)D ✓
Truncar28\([1{,}60;1{,}66[\)C ✗
Promediar las posiciones 28 y 29—cada una en un intervalo distintoindeterminado
Paso 4. Por qué el entero mayor

\(P_{95}\) debe dejar al menos el 95 % de los datos en él o por debajo. Comparemos las dos posiciones candidatas:

\[28 \text{ datos: } \frac{28}{30}=93{,}3\,\% \;<\; 95\,\% \quad\text{(no alcanza)}\]\[29 \text{ datos: } \frac{29}{30}=96{,}7\,\% \;\ge\; 95\,\% \quad\text{(sí alcanza)}\]

Se necesita llegar al dato 29, que está en el cuarto intervalo: \([1{,}66;1{,}72[\).

Comprobación con interpolación (opcional)Suponiendo que los 2 datos del último intervalo se reparten de forma uniforme en él:\[P_{95}=1{,}66+\frac{28{,}5-28}{2}\cdot 0{,}06=1{,}66+0{,}015=1{,}675\ \text{m}\]El valor queda dentro de \([1{,}66;1{,}72[\), lo que confirma que aproximar al entero mayor elige el intervalo correcto. La PAES no pide este cálculo; solo el intervalo.
El distractorLa alternativa C, \([1{,}60;1{,}66[\), es exactamente la respuesta de quien trunca 28,5 a 28. Esta pregunta mide si se conoce la regla del redondeo.

Alternativa correcta: D) \([1{,}66;1{,}72[\)

\(P_{95}\) está en \([1{,}66;1{,}72[\).
8 Cursos fusionados

Si el Cuarto A y el Cuarto B se fusionan, ¿cuál es el intervalo que contiene al percentil 20 del nuevo curso?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 8 · \(P_{20}\) del curso fusionado

Paso 1. Fusionar frecuencias

Frecuencias unidas: \(3+4=7\), \(6+6=12\), \(15+18=33\), \(6+2=8\). Entonces \(n=60\).

\[\frac{20\cdot 60}{100}=12\]
Paso 2. Acumulada fusionada
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)771 a 7
\([1{,}54;1{,}60[\)12198 a 19
\([1{,}60;1{,}66[\)335220 a 52
\([1{,}66;1{,}72[\)86053 a 60

La posición 12 está entre 8 y 19, en \([1{,}54;1{,}60[\).

Alternativa correcta: B) \([1{,}54;1{,}60[\)

\(P_{20}\) está en \([1{,}54;1{,}60[\).
9 Cursos fusionados

Si el Cuarto A y el Cuarto B se fusionan, ¿cuál es el intervalo modal del nuevo curso?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 9 · Intervalo modal

Paso 1. Comparar frecuencias

Al unir los cursos las frecuencias son 7, 12, 33 y 8. El intervalo modal es el de mayor frecuencia: 33 corresponde a \([1{,}60;1{,}66[\).

Alternativa correcta: C) \([1{,}60;1{,}66[\)

El intervalo modal es \([1{,}60;1{,}66[\).
10 Cursos fusionados

Si el Cuarto A y el Cuarto B se fusionan, ¿cuál es el intervalo que contiene al percentil 10 del nuevo curso?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 10 · \(P_{10}\) del curso fusionado

Paso 1. Posición de \(P_{10}\)

\(n=60\).

\[\frac{10\cdot 60}{100}=6\]
Paso 2. Ubicar el intervalo
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)771 a 7
\([1{,}54;1{,}60[\)12198 a 19
\([1{,}60;1{,}66[\)335220 a 52
\([1{,}66;1{,}72[\)86053 a 60

El primer intervalo cubre las posiciones 1 a 7, así que la sexta observación está en \([1{,}48;1{,}54[\).

Alternativa correcta: A) \([1{,}48;1{,}54[\)

\(P_{10}\) está en \([1{,}48;1{,}54[\).
11 Cursos fusionados

Si el Cuarto A y el Cuarto B se fusionan, ¿cuál es el intervalo que contiene al cuartil 2 del nuevo curso?

Estaturas (m) de Cuarto A y Cuarto B
Curso\([1{,}48;1{,}54[\)\([1{,}54;1{,}60[\)\([1{,}60;1{,}66[\)\([1{,}66;1{,}72[\)
Cuarto A36156
Cuarto B46182

Pregunta 11 · \(Q_2\) del curso fusionado

Paso 1. Posición de \(Q_2\)

\(n=60\).

\[\frac{50\cdot 60}{100}=30\]
Paso 2. Ubicar el intervalo
Intervalo\(f\)\(F\)Posiciones
\([1{,}48;1{,}54[\)771 a 7
\([1{,}54;1{,}60[\)12198 a 19
\([1{,}60;1{,}66[\)335220 a 52
\([1{,}66;1{,}72[\)86053 a 60

Las posiciones centrales 30 y 31 están entre 20 y 52, en \([1{,}60;1{,}66[\).

Alternativa correcta: C) \([1{,}60;1{,}66[\)

\(Q_2\) está en \([1{,}60;1{,}66[\).
12 Consumo eléctrico

La tabla muestra los consumos en kWh de 200 casas en un mes. ¿En qué intervalo está el percentil 80?

Consumo (kWh)Frecuencia
\([160;190[\)34
\([190;220[\)47
\([220;240[\)60
\([240;250[\)34
\([250;260]\)25

Pregunta 12 · \(P_{80}\) del consumo

Paso 1. Posición de \(P_{80}\)

\(n=200\).

\[\frac{80\cdot 200}{100}=160\]
Paso 2. Frecuencia acumulada
Intervalo\(f\)\(F\)
\([160;190[\)3434
\([190;220[\)4781
\([220;240[\)60141
\([240;250[\)34175
\([250;260]\)25200

Como \(141<160\le 175\), \(P_{80}\) está en \([240;250[\).

Alternativa correcta: C) \([240;250[\)

El percentil 80 está en \([240;250[\).
13 Datos no agrupados

Dado el conjunto de datos \(2;\;5;\;9;\;3;\;13;\;10;\;11;\;6;\;7\), ¿cuál es el valor del tercer cuartil?

Pregunta 13 · \(Q_3\) de datos no agrupados

Paso 1. Ordenar

Datos ordenados: \(2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;9,\;10,\;11,\;13\). Hay \(n=9\) datos.

Paso 2. Calcular \(Q_3\)

Con datos no agrupados se usa \(\dfrac{K(n+1)}{100}\):

\[\frac{75\cdot(9+1)}{100}=7{,}5\]

La posición 7,5 queda entre el 7.° y el 8.° dato: 10 y 11.

\[Q_3=\frac{10+11}{2}=10{,}5\]

Equivalente: la mediana de la mitad superior \(9,\;10,\;11,\;13\) también es \(10{,}5\).

Alternativa correcta: C) \(Q_3=10{,}5\)

\(Q_3=10{,}5\).
14 Diagrama de caja

Si un conjunto de datos se organiza en el diagrama de caja adjunto, ¿cuál es el valor del primer cuartil de la muestra?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 14 · \(Q_1\) en el diagrama de caja

Paso 1. Leer el cajón

En un diagrama de caja, de izquierda a derecha: el extremo izquierdo de la caja es \(Q_1\), la raya interior es \(Q_2\) y el extremo derecho de la caja es \(Q_3\).

En la figura esas marcas corresponden a B, C y D respectivamente. Por lo tanto el primer cuartil es B.

Paso 2. Descartar

C es la mediana y D es \(Q_3\). \(D-B\) sería el rango intercuartílico, no \(Q_1\).

Alternativa correcta: A) B

El primer cuartil corresponde a la marca B.
15 Relación entre cuartiles y percentiles

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Pregunta 15 · Equivalencias

Paso 1. Recordar las equivalencias

Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales:

\[Q_1=P_{25},\qquad Q_2=P_{50},\qquad Q_3=P_{75}\]
Paso 2. Descartar el resto

El noveno percentil es \(P_9\), no \(Q_3\). La media no coincide siempre con \(Q_2\) (eso es la mediana). Amplificar \(P_{10}\) no produce \(P_{20}\).

Alternativa correcta: C) \(Q_3=P_{75}\)

La afirmación verdadera es \(Q_3=P_{75}\).
16 Asimetría en diagramas de caja

¿En cuál de los siguientes diagramas de cajón se representan datos con una asimetría positiva?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 16 · Asimetría positiva

Paso 1. Qué se busca

Una distribución con asimetría positiva (cola a la derecha) tiene mayor extensión hacia los valores grandes. En un cajón se ve un bigote derecho más largo y/o la mediana corrida hacia la izquierda de la caja.

Paso 2. Lectura de la figura

El diagrama D es el que muestra esa cola hacia la derecha.

Alternativa correcta: D) Diagrama D

La asimetría positiva corresponde al diagrama D.
17 Notas del examen

Las notas de un curso se ilustran en la tabla. ¿En qué intervalo se encuentra el percentil 40?

NotaN.° de alumnos
\([2;3[\)2
\([3;4[\)3
\([4;5[\)5
\([5;6[\)7
\([6;7]\)3

Pregunta 17 · \(P_{40}\)

Paso 1. Posición

\(n=2+3+5+7+3=20\).

\[\frac{40\cdot 20}{100}=8\]
Paso 2. Acumulada
Intervalo\(f\)\(F\)
\([2;3[\)22
\([3;4[\)35
\([4;5[\)510
\([5;6[\)717
\([6;7]\)320

La octava observación está entre 6 y 10, en \([4;5[\).

Alternativa correcta: C) \([4;5[\)

\(P_{40}\) está en \([4;5[\).
18 Masas corporales

En la tabla se registran las masas corporales, en kilogramos. ¿En qué intervalo se encuentra el percentil 60?

Masa corporal (kg)Frecuencia
\([40;50[\)26
\([50;60[\)42
\([60;70[\)13
\([70;80[\)12
\([80;90]\)7

Pregunta 18 · \(P_{60}\)

Paso 1. Posición

\(n=26+42+13+12+7=100\).

\[\frac{60\cdot 100}{100}=60\]
Paso 2. Acumulada
Intervalo\(f\)\(F\)
\([40;50[\)2626
\([50;60[\)4268
\([60;70[\)1381
\([70;80[\)1293
\([80;90]\)7100

Como \(26<60\le 68\), \(P_{60}\) está en \([50;60[\).

Alternativa correcta: B) \([50;60[\)

\(P_{60}\) está en \([50;60[\).
19 Datos negativos

Si se tienen 30 datos negativos distintos, ¿cuál de las siguientes medidas será positiva?

Pregunta 19 · Signo de las medidas

Paso 1. Consecuencia de que todos los datos sean negativos

La media de números negativos es negativa. \(P_{45}\) y \(Q_3\) son valores de la misma colección ordenada, así que también son negativos.

Paso 2. Conclusión

Ninguna de las tres medidas propuestas resulta positiva.

Alternativa correcta: D) Ninguna de las anteriores

Ninguna de las medidas A, B o C es positiva.
20 Diagrama de cajón

Los datos \(\{22,\;22,\;17,\;15,\;16,\;19,\;17,\;19,\;15,\;16,\;18,\;18,\;15,\;20,\;19,\;16\}\) se representan en el diagrama de cajón adjunto. ¿Cuál es el valor de \(x\)?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 20 · Valor de \(x\) en el cajón

Paso 1. Ordenar

Hay \(n=16\) datos. Ordenados: \(15,\;15,\;15,\;16,\;16,\;16,\;17,\;17,\;18,\;18,\;19,\;19,\;19,\;20,\;22,\;22\).

Paso 2. Identificar \(x\)

En el diagrama, \(x\) marca el borde derecho de la caja, es decir \(Q_3\).

\[\frac{75\cdot(16+1)}{100}=12{,}75\]

Queda entre el 12.° y el 13.° dato, ambos iguales a 19. También: la mitad superior es \(18,\;18,\;19,\;19,\;19,\;20,\;22,\;22\) y su mediana es \(\dfrac{19+19}{2}=19\).

Alternativa correcta: B) \(x=19\)

\(x=Q_3=19\).
21 Tabla de percentiles de un facsímil

La tabla muestra parte de la transformación de puntaje de un facsímil de Matemática. Un alumno que quedó en el percentil 89 significa que:

N.° de respuestas correctasPuntajePercentil
4362387
4462688
4562988
4663389
4764090

Pregunta 21 · Significado de \(P_{89}\)

Paso 1. Interpretar el percentil

Estar en el percentil 89 significa que aproximadamente el 89% de los resultados queda en o bajo ese nivel: el alumno supera al 89% de quienes rindieron esa prueba.

Paso 2. Descartar lecturas literales

No es el puesto 89, ni «89 alumnos de 100» como cantidad absoluta, ni que existan exactamente 89 puntajes iguales a 633.

Alternativa correcta: C) Supera al 89% de quienes rindieron

La lectura correcta es que supera al 89% de quienes rindieron la prueba.
22 Estaturas en un jardín infantil

Las estaturas en cm de un grupo de niños se muestran en la tabla. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Estatura (cm)Frecuencia
80–904
91–1008
101–1106
111–1202

Pregunta 22 · Afirmación verdadera

Paso 1. Totales y acumulada

\(n=4+8+6+2=20\). Acumuladas: \(4,\;12,\;18,\;20\).

Paso 2. Contrastar cada afirmación

\(Q_1\): \(\dfrac{25\cdot 20}{100}=5\), cae en el segundo intervalo (5 a 12). A es falsa.

\(Q_3\): \(\dfrac{75\cdot 20}{100}=15\), cae en el tercer intervalo (13 a 18). B es verdadera.

\(P_{65}\): \(\dfrac{65\cdot 20}{100}=13\), tercer intervalo, no el segundo. C es falsa.

\(P_{80}\): \(\dfrac{80\cdot 20}{100}=16\), tercer intervalo, no el cuarto. D es falsa.

Alternativa correcta: B) \(Q_3\) está en el tercer intervalo

Solo B es verdadera: \(Q_3\) está en el tercer intervalo.
23 Cuadrados del 1 al 11

Se consideran los cuadrados de los números del 1 al 11. Entonces, los valores de los cuartiles 1, 2 y 3 son respectivamente:

Pregunta 23 · \(Q_1,\;Q_2,\;Q_3\) de los cuadrados

Paso 1. Lista ordenada

\(1^2,\;2^2,\;\ldots,\;11^2\) ya vienen ordenados: \(1,\;4,\;9,\;16,\;25,\;36,\;49,\;64,\;81,\;100,\;121\). Hay \(n=11\) datos.

Paso 2. Calcular los tres cuartiles

Mediana: el 6.° dato es \(36\), así que \(Q_2=36\).

\[\frac{25\cdot(11+1)}{100}=3\qquad\Rightarrow\qquad Q_1=9\]\[\frac{75\cdot(11+1)}{100}=9\qquad\Rightarrow\qquad Q_3=81\]

La mitad inferior \(1,\;4,\;9,\;16,\;25\) tiene mediana 9; la superior \(49,\;64,\;81,\;100,\;121\) tiene mediana 81.

Alternativa correcta: D) \(9,\;36\) y \(81\)

Los cuartiles son \(9,\;36\) y \(81\).
24 Estaturas de un equipo

Las estaturas de un equipo de básquetbol, en centímetros, son \(172,\;177,\;171,\;164,\;160,\;166,\;178,\;175\). ¿Cuál es el valor del tercer cuartil?

Pregunta 24 · \(Q_3\) de las estaturas

Paso 1. Ordenar

\(160,\;164,\;166,\;171,\;172,\;175,\;177,\;178\). Hay \(n=8\) datos.

Paso 2. Posición de \(Q_3=P_{75}\)

Datos no agrupados, así que se usa \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\):

\[\frac{75\cdot(8+1)}{100}=\frac{75\cdot 9}{100}=6{,}75\]

La posición es decimal: se promedian los datos de las posiciones 6 y 7, que son 175 y 177.

\[Q_3=\frac{175+177}{2}=176\]
Comprobación

La mitad superior de los datos es \(172,\;175,\;177,\;178\), y su mediana también es \(\dfrac{175+177}{2}=176\). Fíjate que 176 no es la estatura de ningún jugador: un cuartil puede no coincidir con un dato cuando la posición es decimal.

Alternativa correcta: C) \(Q_3=176\,\mathrm{cm}\)

\(Q_3=176\,\mathrm{cm}\).
25 Rango etario de televidentes

En un estudio a personas entre 15 y 70 años se obtuvo \(Q_1=20\), \(Q_2=30\) y \(Q_3=50\) años. ¿Cuál es el rango etario que concentra el 50% central de la muestra?

Pregunta 25 · 50% central

Paso 1. Definición

El 50% central de una distribución queda entre \(Q_1\) y \(Q_3\). Aquí eso es el intervalo de 20 a 50 años.

Paso 2. Descartar

15 a 20 es el 25% inferior. 15 a 30 llega hasta la mediana (50% acumulado, no el 50% central). 30 a 50 es solo el cuarto entre \(Q_2\) y \(Q_3\).

Alternativa correcta: C) Entre los 20 y los 50 años

El 50% central está entre \(Q_1=20\) y \(Q_3=50\) años.
26 Rango intercuartílico

Si un conjunto de datos se organiza en el diagrama de caja adjunto, ¿cuál es el valor del rango intercuartílico?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 26 · Rango intercuartílico

Paso 1. Definición y lectura

El rango intercuartílico es \(\mathrm{RIC}=Q_3-Q_1\). En el diagrama, el borde izquierdo de la caja es \(Q_1=12\) y el derecho es \(Q_3=24\).

\[\mathrm{RIC}=24-12=12\]

Alternativa correcta: A) \(\mathrm{RIC}=12\)

\(\mathrm{RIC}=12\).
27 Gráfico de frecuencias

¿Cuál es el valor del primer cuartil de los datos registrados en el gráfico de la figura adjunta?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 27 · \(Q_1\) del gráfico

Paso 1. Leer frecuencias

Del gráfico: 2 aparece 5 veces, 4 aparece 7 veces, 6 aparece 4 veces y 8 aparece 7 veces. En total \(n=5+7+4+7=23\).

Paso 2. Posición de \(Q_1\)\[\frac{25\cdot(23+1)}{100}=6\]

Las posiciones 1 a 5 valen 2 y las posiciones 6 a 12 valen 4. El dato en la posición 6 es 4, así que \(Q_1=4\).

Alternativa correcta: C) \(Q_1=4\)

\(Q_1=4\).
28 Tabla de frecuencia

Considerando la tabla de frecuencias adjunta, ¿cuál es el valor del percentil 80?

DatoFrecuencia
15
24
32
40
52
61
71

Pregunta 28 · \(P_{80}\)

Qué fórmula usarLos datos no están agrupados en intervalos (cada fila es un valor), así que la posición del percentil se calcula con \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\). La expresión \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) se reserva para tablas con intervalos.
Paso 1. Total y posición

\(n=5+4+2+0+2+1+1=15\).

\[\frac{80\cdot(15+1)}{100}=\frac{80\cdot 16}{100}=12{,}8\]

La posición es decimal: se promedian los datos de las posiciones 12 y 13.

Paso 2. Acumulada
Valor\(f\)\(F\)Posiciones
1551 a 5
2496 a 9
321110 a 11
4011—
521312 a 13
611414
711515

Ojo con el dato 4: tiene frecuencia 0, así que no ocupa ninguna posición. Las posiciones 12 y 13 corresponden ambas al valor 5:

\[P_{80}=\frac{5+5}{2}=5\]

Alternativa correcta: C) \(P_{80}=5\)

\(P_{80}=5\).
29 Atención en supermercado

La tabla resume el tiempo de atención de clientes. ¿En qué intervalo de horario se encuentra el percentil 55?

HorarioNúmero de personas atendidas
\([12;13[\)120
\([13;14[\)142
\([14;15[\)105
\([15;16[\)80
\([16;17[\)66
\([17;18[\)154
\([18;19[\)133

Pregunta 29 · \(P_{55}\)

Paso 1. Total y posición

\(n=120+142+105+80+66+154+133=800\).

\[\frac{55\cdot 800}{100}=440\]
Paso 2. Acumulada
Horario\(f\)\(F\)
\([12;13[\)120120
\([13;14[\)142262
\([14;15[\)105367
\([15;16[\)80447
\([16;17[\)66513
\([17;18[\)154667
\([18;19[\)133800

Como \(367<440\le 447\), \(P_{55}\) está en \([15;16[\).

Alternativa correcta: C) \([15;16[\)

\(P_{55}\) está en \([15;16[\).
30 Histograma de igual amplitud

En el gráfico de la figura, todos los intervalos tienen la misma amplitud. ¿Cuál de las siguientes medidas de posición se encuentra en el mismo intervalo que el cuartil 2?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 30 · Misma clase que \(Q_2\)

Paso 1. Lectura del gráfico

Las alturas son 5, 4, 3, 3 y 5, así que \(n=20\). Acumuladas: \(5,\;9,\;12,\;15,\;20\).

\(Q_2=P_{50}\) corresponde a la posición \(\dfrac{50\cdot 20}{100}=10\), que cae en el tercer intervalo (posiciones 10 a 12).

Paso 2. Comparar alternativas

\(P_{64}\): posición \(12{,}8\), cuarto intervalo.

\(Q_1\): posición \(5\), primer intervalo.

\(P_{58}\): posición \(11{,}6\), tercer intervalo (el mismo que \(Q_2\)).

\(Q_3\): posición \(15\), cuarto intervalo.

Alternativa correcta: C) \(P_{58}\)

La medida que comparte intervalo con \(Q_2\) es \(P_{58}\).
31 Antigüedad de funcionarios

La tabla resume los años de antigüedad de los funcionarios de un colegio. ¿Cuáles son los intervalos del primer y del tercer cuartil, respectivamente?

Antigüedad (años)Frecuencia
\([0;5[\)25
\([5;10[\)47
\([10;15[\)66
\([15;20[\)34
\([20;25]\)28

Pregunta 31 · Intervalos de \(Q_1\) y \(Q_3\)

Paso 1. Totales

\(n=25+47+66+34+28=200\).

\[\frac{25\cdot 200}{100}=50\qquad\frac{75\cdot 200}{100}=150\]
Paso 2. Acumulada
Intervalo\(f\)\(F\)
\([0;5[\)2525
\([5;10[\)4772
\([10;15[\)66138
\([15;20[\)34172
\([20;25]\)28200

La posición 50 está entre 26 y 72 \(\Rightarrow Q_1\) en \([5;10[\). La posición 150 está entre 139 y 172 \(\Rightarrow Q_3\) en \([15;20[\).

Alternativa correcta: D) \([5;10[\) y \([15;20[\)

Los intervalos son \([5;10[\) y \([15;20[\).
32 Percentil 50 y dato central

Si en un conjunto de datos no agrupados, al calcular el percentil 50 se obtiene exactamente el dato central, ¿cuál afirmación es verdadera?

Pregunta 32 · \(P_{50}\) como dato central

Paso 1. Mediana y paridad

\(P_{50}\) es la mediana. Si hay una cantidad impar de datos ordenados existe una única observación central, y la mediana coincide exactamente con ese dato.

Paso 2. Por qué fallan las otras

Con \(n\) par la mediana es el promedio de los dos centrales, no «el» dato central. Que todos sean iguales o que la media coincida con \(Q_2\) no garantiza esa coincidencia con un único dato central.

Alternativa correcta: D) Cantidad impar de datos

La condición que garantiza lo señalado es tener una cantidad impar de datos.
33 Gráfico de frecuencias

¿Cuál es el valor del percentil 75 de los datos que se muestran en el gráfico de la figura adjunta?

Figura en el enunciado Observa el gráfico en EF_M1a_C21.pdf mientras contrastas el desarrollo.

Pregunta 33 · \(P_{75}\) del gráfico

Qué fórmula usarLos datos no están agrupados en intervalos (cada fila es un valor), así que la posición del percentil se calcula con \(\dfrac{K\cdot(n+1)}{100}\). La expresión \(\dfrac{K\cdot n}{100}\) se reserva para tablas con intervalos.
Paso 1. Leer el gráfico

1 aparece 3 veces, 2 aparece 6, 3 aparece 5, 4 aparece 7 y 5 aparece 2 veces. Entonces \(n=3+6+5+7+2=23\).

Paso 2. Posición de \(P_{75}\)\[\frac{75\cdot(23+1)}{100}=\frac{75\cdot 24}{100}=18\]

La posición es entera: el percentil es directamente el dato que ocupa la posición 18.

Paso 3. Ubicar en la acumulada
Valor\(f\)\(F\)Posiciones
1331 a 3
2694 a 9
351410 a 14
472115 a 21
522322 a 23

La posición 18 está en el tramo 15 a 21, que corresponde al valor 4. Por lo tanto \(P_{75}=4\).

Alternativa correcta: A) \(P_{75}=4\)

\(P_{75}=4\).

Clave 1: B · 2: B · 3: C · 4: C · 5: B · 6: C · 7: D · 8: B · 9: C · 10: A · 11: C · 12: C · 13: C · 14: A · 15: C · 16: D · 17: C · 18: B · 19: D · 20: B · 21: C · 22: B · 23: D · 24: C · 25: C · 26: A · 27: C · 28: C · 29: C · 30: C · 31: D · 32: D · 33: A